第六节排列、组合与概率初步的教学
一、排列与组合的教学教法
（一）排列与组合的教学要求
通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
（二）排列与组合的教学策略
1.联系生活
从实际生活中的排列问题引入，例如排队问题、数字问题和彩票问题等，让学生先有一定的感性认识后，再引入排列的概念，这样既提高学生的学习兴趣，又提高教学效果。
2.区别概念
注意相近概念之间的区别和联系。如排列和排列数这两个不同的概念。
3.温故知新
要注意与旧有知识之间的联系，由旧知识引导出新的知识。
4.合理推导
排列组合问题可以借助框图的直视解释来讲解，要重点分析好的推导。课本上用的是不完全归纳法，先推导、再推广到一般形式，这样由特殊到一般，由具体到抽象的讲法，学生是不难理解的。
5.分类讲解
教学时选择例题要进行分类，题目难度要有层次。在例题讲解过程中，不断地总结排列应用题的类型和解题的基本思路，最好和学生一块总结。
6.培养分析
在教学排列组合应用题时，开始应要求学生写出解题过程中简要的文字说明。在基本掌握之后，可以逐渐地降低这方面的要求。建议应充分利用树形图对问题进行分析，这样比较直观，便于理解。
二、概率的教学教法
（一）概率教学要求
学生将在必修课程学习概率的基础上，学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法。并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。
（二）概率教学内容
1.在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于表示随机现象的重要性。
2.通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。
例如：高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏。在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球，摸到4个红球的就中一等奖。求获一等奖的概率。
分析：从30个球中摸出5个球的组合数为：C530=142506；那么，
P（一等奖）= C410C5-430-10/C530=4200/142506≈0.029.
如果令X表示摸出红球的个数，则X服从N=30，M=5，n=10，m=4的超几何分布，那么
P（X=m）= CmnCM-mN-n/CMN.
3.在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。
例如：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为多少?
分析：将一枚均匀硬币随机掷100次，相当于重复做了100次试验，每次有两个可能的结果（出现正面，不出现正面），出现正面的概率为1/2.
如果令X为硬币正面出现的次数，则X服从n＝100，p＝12的二项分布，那么P(X=k)=Ck100(12)k(1-12)100-k=Ck100(12)100.
由此可以得到：“随机掷100次硬币正好出现50次正面”的概率为P(X=50)=C50100(12)100≈0.08.
学生在学习概率时会有一种误解，认为既然出现正面的概率为1/2，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率应该很大。但计算表明这概率只有8%左右。
4.通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。
例如：据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案.
方案1：运走设备，此时需花费3800元.
方案2：建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60000元.
方案3：不采取措施，希望不发生洪水.此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.
试比较哪一种方案好.
5.通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
（三）概率的教学方法
1.研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型，要求通过实例引入这两个概率模型，不追求形式化的描述。教学中，应引导学生利用所学知识解决一些实际问题。
2.教学中，应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。
附：经典教案
“不等式”复习与小结
【教学目标】
一、知识与技能
1.会用不等式（组）表示不等关系；
2.熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小；
3.会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系；
4.会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题；
5.明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
二、过程与方法
三、情感、态度与价值观
【教学重点与难点】
重点：不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
难点：利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
【学法与教学用具】
1.学法：复习与运用。
2.教学用具：多媒体、实物投影仪。
【课时安排】 1课时
【教学过程】
一、本章基本结构
二、知识梳理
（一）不等式与不等关系
1.应用不等式（组）表示不等关系
不等式的主要性质：
(1)对称性：a＞bb＜a
(2)传递性：a＞b,b＞ca＞c
(3)加法法则：a＞ba+c＞b+c；a＞b,c＞da+c＞b+d
(4)乘法法则：a＞b,c＞0ac＞bc；a＞b,c＜0ac＜bc；a＞b＞0,c＞d＞0ac＞bd
(5)倒数法则：a＞b,ab＞01a＜1b
(6)乘方法则：a＞b＞0an＞bn(n∈N*且n＞1)
(7)开方法则：a＞b＞0na＞nb(n∈N*且n＞1)
2.应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法
3.应用不等式性质证明
（二）一元二次不等式及其解法
一元二次不等式ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0(a≠0)的解集：
设相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2且x1≤x2，Δ=b2-4ac，则不等式的解集的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格)
Δ＞0Δ=0Δ＜0二次函数
y=ax2+bx+c
(a＞0)的图像y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
一元二次方程
ax2+bx+c=0
(a＞0)的根有两相异实根
x1,x2(x1＜x2)有两相等实根
x1=x2=-b2a无实根ax2+bx+c＞0
(a＞0)的解集xx＜x1或x＞x2xx≠-b2aRax2+bx+c＜0
(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}（三）线性规划
1.用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）
2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域。（特殊地，当C≠0时，常取原点作为此特殊点）
3.线性规划的有关概念
（1）线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件。
（2）线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数。
（3）线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
（4）可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解。由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。
4.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由各二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解。
（四）基本不等式ab≤a+b2
1.如果a,b是正数，那么a+b2≥ab(当且仅当a=b时，取“=”号)
2.基本不等式ab≤a+b2的几何意义是“半径不小于半弦”
3.几个重要不等式
（1）若a∈R，则|a|≥0,a2≥0
（2）若a、b∈R，则a2+b2≥2ab(或a2+b2≥2|ab|≥2ab，当且仅当a=b时，取等号）
（3）如果a,b都是正数，那么ab≤a+b2 （当仅当a=b时，取等号）
最值定理：若x,y∈R,x+y=s,xy=p,则：
如果p是定值, 那么当x=y时，s的值最小；如果s是定值, 那么当x=y时，p的值最大.
注意：
①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；
② “和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；
③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
三、典型例题
1.用不等式表示不等关系
例1某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式.
2.比较大小
例2(1)（3-2）（6-1）2；（2）（x2+1）2x4+x2+1;
（3）15-216-5；(4)当a＞b＞0时，log12alog12b。
3.利用不等式的性质求取值范围
例3已知函数f(x)=ax2+c,满足-4≤f(1)≤1,-1≤f(2)≤5,那么f(3)的取值范围是.
思维拓展：已知-1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3，求3a-2b的取值范围.
4.解一元二次不等式
例4解不等式：（1）2x2+7x+4＞0；（2）-x2+8x-3＞0.
5.二元一次方程（组）与平面区域
例5画出不等式组x+y-6≥0，
x-y≥0，
y≤3，
x＜5表示的平面区域.
6.求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
例6已知x、y满足不等式x+2y≥2，
2x+y≥1，
x≥0,y≥0，求z=3x+y的最小值.
7.利用基本不等式证明
例7求证(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
8.利用基本不等式求最值
例8若x＞0,y＞0且2x+8y=1,求xy的最小值.
思维拓展：求f(x)=4x+9x-5(x＞5)的最小值.
四、承上启下，留下悬念
五、板书设计（略）
六、课后记
本节的考点为排列与组合的教学策略以及概率的教学教法，考查考生引导学生联系生活实际，体会数学思想的能力。
真 题 1+1
一、简答题
1.简述初中数学教学中的科学方法。
【答案】 （1）引导、发现问题，激发学生主动参与学习的意识。
（2）创设活动，发挥学生学习的主动性。
（3）手脑并用，在生活中运用数学。
（4）辅导自学，教给学生学习方法。
2.简述如何进行平面解析几何的教学。
【答案】 首先，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；其次，处理代数问题；最后，分析代数结果的几何含义。帮助学生不断体会“数形结合”的思想方法。
3.简述排列与组合的教学策略。
【答案】 （1）联系生活。从实际生活中的排列问题引入，提高学生学习兴趣。
（2）区别概念。注意相近概念之间的区别和联系。
（3）温故知新。要注意与旧知识之间的联系，由旧知识引导出新知识。
（4）合理推导。排列组合问题可以借助框图的直视解释来讲解，要重点分析好的推导。
（5）分类讲解。教学时选择例题要进行分类，题目难度要有层次。
（6）培养分析。在教学排列组合应用题时，开始应要求学生写出解题过程中简要的文字说明。
案 例 评 析
以“抛物线及其标准方程”为内容撰写一份说课稿。
【评析】 说课稿与教案不同。说课稿是教学片段的文字呈现，一般会有几个部分如：说教材、说学情、说教学方法、说教学过程、说教学评价。答题时可按照这几部分分段论述，明确表明观点、逻辑清晰、证据恰当、有理有据。
名师同步陪练
一、填空题
1.高中数学课程的总目标是：使学生在的基础上，进一步提高作为未来公民所必需的，以满足个人发展与社会进步的需要。
【答案】 九年义务教育数学课程数学素养
2.学生获得数学概念的两种基本方式是：和。
【答案】 概念形成概念同化
二、简答题
怎样理解数学的严谨性？在教学中如何贯彻严谨性与量力性相结合的原则？
【答案】 严谨性是数学科学理论的基本特点。它要求数学结论的表述必须精练、准确。而对结论的推理论证，要求步步有根据，处处符合逻辑理论的要求。在数学内容的安排上，要求有严格的系统性，要符合学科内在的逻辑结构，既严格又周密。
贯彻严谨性与量力性相结合的原则。首先，必须注意到数学理论的严谨性具有相对性，在它达到当前高度严谨以前，也有一个相对来说不那么严谨的过程；对于数学严谨性的要求，中学生要有一个适应过程。其次，可以通过下列要求来贯彻这一个教学原则：教师必须明确各部分内容在严谨性上的要求程度；要求学生语言精确；要求学生思考缜密；要求学生言必有据；要求学生思路清晰。
三、论述题
什么是数学思想方法？在中学数学教学中如何渗透数学思想方法？
【答案】 数学思想方法既是数学思想，也是数学方法。同一数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为方法，当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。与数学知识、数学命题相比较，数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括，蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程之中，是在认识活动中被反复使用，带有普遍指导意义的各种方式及策略等。中学数学教学内容蕴含着丰富的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法等。数学思想方法的教学通常有两种基本途径：第一，在数学知识的教学过程中归纳、提炼数学思想方法；第二，在数学问题的解决过程中使用数学思想方法。
数学思想方法的教学应该注意两点：第一，数学思想方法的教学应该以渗透为主要特征；第二，数学思想方法的渗透应该注重长期性和反复性。
