真 题 1+1
一、单项选择题
1.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若∠C＝120°，c＝2a，则（）
A. a＞bB. a＜b
C. a=bD. a与b的大小关系不能确定
【答案】 A
【解析】 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，又∠C=120°，所以2a2=a2+b2+ab，所以a2=b2+ab＞b2，所以a＞b.
2.limx→1x2+x-2x2+4x-5=（）.
A. 12B. 1C. 25D. 14
【答案】 D
【解析】 limx→1x2+x-2x2+4x-5=limx→1(x+2)(x-1)(x+5)(x-1)=limx→1x+2x+5=12.
二、填空题
1.在区间［-1,2］上随机取一个数x，则｜x｜≤1的概率为.
【答案】 23
【解析】 ∵区间［-1，2］长度为3，由｜x｜≤1得x∈［-1，1］，而区间［-1，1］长度为2，x取每个值为随机的，∴在［-1，2］上取一个数x，｜x｜≤1的概率P=23.
2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是.
【答案】 c∈(－13,13)
【解析】 若使圆上有且仅有四点到直线12x－5y+c=0距离为1，则圆心到该直线距离应小于1，即｜c｜122+（-5）2＜1，解得c∈(－13,13).
三、解答题
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3)，C(-2,-1)
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足(AB－t·OC)·OC=0，求t的值.
【答案】 （1）本题解法不唯一，可利用平行四边形性质求出第四点D（1，4），然后运用两点间距离公式求两对角线；也可利用向量知识，求向量AB与AC和、差的模；两对角线长为210,42.
（2）因为AB=(3,5),OC=(－2,－1)，所以由(AB－tOC)·OC=0知t=－115.
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一、单项选择题
1.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）.
A. -3,3B. -3,3
C. -33,33D. -33,33
【答案】 C
【解析】 点a(4,0)在圆外，因此斜率必存在.设经过该点的直线方程为kx-y-4k＝0
所以有｜2k-0-4k｜k2+1≤1，解得-33≤k≤33.
2.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）.
A. 10B. 11C. 12D. 15
【答案】 B
【解析】 四个数字的所有排列有24个，3个位置对应相同的有C34=4个，4个位置对应相同的有1个，所以，至多有2个位置对应数字相同的有24-4-1=11个.
二、填空题
1.已知函数f(x)=x2+1,x≥0
1，x＜0,则满足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的范围是.
【答案】 x∈(-1,2-1)
【解析】 由f(x)图像可知，当自变量大于等于0时，f(x)为增函数，若要满足题中不等式，则有1-x2≥0
2x≥0
1-x2＞2x解得：-1＜x＜2-1.
2.将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=（梯形的周长）2梯形的面积,则S的最小值是.
【答案】 3233
【解析】 如图，△ABC是边长为1的正三角形，EF∥BC，四边形BCFE为梯形；
设AE=x (0＜x＜1)，则梯形BCFE周长=3－x，
梯形BCFE面积=(1－x2)34，
据题意知：
S=(3-x)234(1-x2)=4(3-x)23(1-x2)(0＜x＜1)
对S(x)求导，S′(x)=-83(x-3)(3x-1)3(1-x2)2，令S′(x)=0，联系0＜x＜1得x=13.
将x=13代入S，得S＝3233，即S的最小值是3233.
三、解答题
已知函数f(x)=3sin2x-2sin2x.
（1）求函数f(x)的最大值；
（2）求函数f(x)的零点的集合.
【答案】 （1）因为f(x)=3sin2x-(1-cos2x)=2sin2x+π6-1，所以，当2x+π6=2kπ+π2，即x=kπ+π6(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值1.
(2)由f(x)=0得23sinxcosx=2sin2x，于是sinx=0，或3cosx=sinx
即tanx=3.由sinx=0可知x=kπ；由tanx=3可知x=kπ+π3.
故函数f(x)零点的集合为xx=kπ或x=kπ+π3，k∈Z.
