第二章数学
命 题 架 构
数学代数基本知识点函数与不等式
数列与极限
复数
排列、组合
三角
立体几何常用公式与解法
常用技巧
解析几何
考 情 追 踪
教师公开招聘考试中，对考生基础知识的考查相对来说是比较容易的，但是有些知识点是大家容易遗忘并且容易出现漏解等现象的，因此复习时要特别注意这些知识点。数学基础知识的考查可以说是新题不难、难题不怪，考生要掌握具有普遍意义的方法和相关的知识，这也是新课程改革的要求。例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根公式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题，突出解析几何设而不解的运算本色。这些问题考查了解析几何的基本方法，也体现了“更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的新思想。
名 师 讲 堂
第一节代数基本知识点
一、函数与不等式
（一）函数
1.子集、交集、并集、补集的概念及简单的计算.
2.正确使用“∈、、、=”，正确表示集合(列举法、描述法).
3.n元素集的子集有2n个.
4.求函数定义域(主要是：分母不为0，偶次方根非负，对数的真数及底数的限制，反三角函数中自变量的限制).
5.求函数值域(配方法、反函数定义域法、判别式法、利用均值不等式、利用已知函数的单调性和有界性、换元法等).
6.利用均值不等式求函数最值(要点：一正、二定、三相等)，也可考虑导函数的单调性.
7.一元二次函数在闭区间求最值：配方、考查图像在区间上的单调性.
8.应用题求最值：选定自变量、列函数关系式、双变量归一、再求最值.
9.求反函数：x与y一一对应，y=f(x)→x=f-1(y)→y=f-1(x)，要注明反函数的定义域(即原函数的值域).
10.函数的奇偶性：①定义域关于原点对称；②f(-x)=f(x),（偶函数）
-f(x).（奇函数）
11.奇函数的图像关于原点对称，f(0)=0或f(0)无意义.偶函数的图像关于y轴对称.
12.在关于原点的对称区间上：奇函数的增减性相同，偶函数的增减性相反.
13.函数的单调性：①任取“区间”内的x1＜x2，计算f(x1)-f(x2)；
②落实在“区间”上：
f(x1)-f(x2)＜0,则f(x)为增，
＞0，则f(x)为减.
14.正确讨论复合函数f(φ(x))的单调性：
相同单调性的f与φ复合，则f(φ(x))为增函数；
单调性相反的f与φ复合，则f(φ(x))为减函数；
函数y=f(x)，满足f(a+x)=f(b-x)，则图像的对称轴为x=a+b2.
15.函数图像：
指数函数：y=ax,(a＞0,a≠1)对数函数：y=logax,(a＞0,a≠1)
幂函数：y=xn,n=-1,-12,12,1
当x∈(0,+∞)时,n＞0,xn为增；n＜0,xn为减.
(1)由定义域、值域确定范围，由对称性确定中心与轴，由单调性确定曲线走势.
(2)指数曲线，对数曲线，先确定渐近线.
(3)注意平移：y=f(x)a＞0向左a＜0向右y=f(x+a)；y=f(x)b＞0向上b＜0向下y=f(x)+b.
(4)有绝对值时，注意“对称”与“翻转”（y=f(|x|)，y=|f(x)|）.
(5)注意伸缩：横向纵向
y=f(x) 0＜ω＜1伸ω＞1缩y=f(ωx)；y=f(x)a＞1伸0＜a＜1缩y=af(x).
16.比较多个函数值的大小：（1）按“0”、“1”分界；（2）同范围内按增减性.
17.解对数方程要验根.对数的真数是多项式时，要加括号.
18.指数运算法则：am·an=am+n，am÷an=am-n，(am)n=amn,nam=amn.
对称运算法则:logamn=logam+logan，logamn=logam-logan，logamn=nlogam，恒等式：alogaN=N，换底公式：logaN=logbNlogba.
推论：logab=1logba，logab=loganbn=lognanb，logambn=nmlogab.
19.比例性质：若ab=cd,则ad=bc，ac=bd,a+bb=c+dd(合比)，a-bb=c-dd(分比)；a+ba-b=c+dc-d(分比)；ab=cd=a+cb+d(等比).
（二）不等式
1.不等式的基本性质和运算性质.
2.证明不等式常用方法：比较法、综合法、分析法、基本不等式、数学归纳法、反证法等.
3.解不等式：一元一次与一元二次式是基础.
(1)高次不等式（分解因式、数轴标根）；分式不等式（移项、通分、分解因式）.
(2)无理不等式（f(x)＜g(x),f(x)＞g(x),两边为正再平方）.
(3)指数或对数不等式（考虑定义域与单调性，对于字母底数要分a＞1与0＜a＜1讨论.答案一定要分开写）.
(4)含绝对值的不等式(|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x)，|f(x)|＞g(x)f(x)＜-g(x)或f(x)＞g(x)，多个绝对值时用零点分区法讨论).
4.y=ax2+bx+c，当Δ＜0时，a＞0
y＞0或a＜0
y＜0恒成立.
5.掌握两个(或三个)正数的算术平均值不小于几何平均值的定理及其应用.
二、数列与极限
（一）基本公式
1.一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=S1(n=1)，
Sn-Sn-1(n≥2).
2.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d,an=ak+(n-k)d(其中a1为首项，ak为已知的第k项).当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数.
3.等差数列的前n项和公式：Sn=na1+n(n-1)2d；Sn=n(a1+an)2；Sn=nan-n(n-1)2d.
当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式.
4.等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=S2n-12n-1.
5.等差中项公式：A=a+b2（有唯一的值）.
6.等比数列的通项公式： an=a1qn-1；an=akqn-k(其中a1为首项，ak为已知的第k项，an≠0).
7.等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=na1(是关于n的正比例式)；
当q≠1时，Sn=a1(1-qn)1-q；Sn=a1-anq1-q.
8.等比中项公式：G=±ab（ab＞0，有两个值）
（二）基本性质
1.等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、…仍为等差数列.
2.等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq
3.等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am·an=ap·aq
4.等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、…仍为等比数列.
5.两个等差数列{an}与{bn}的和、差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列.
6.两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、anbn、1bn仍为等比数列.
7.等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.
8.等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.
9.三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d.
10.三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的设法：a/q3,a/q,aq,aq3.
11.{an}为等差数列，则{can}(c＞0)是等比数列.
12.{bn}（bn＞0）是等比数列，则{logcbn} (c＞0且c≠1) 是等差数列.
13.无穷递缩等比数列的所有项和的公式：S=a11-q （-1＜q＜0或0＜q＜1）.
14.无穷数列{an}的所有项和公式：S=limn→∞Sn（当limn→∞Sn存在时）.
15.若limn→∞an、limn→∞bn存在，则有limn→∞(an±bn)=limn→∞an±limn→∞bn ,limn→∞(anbn)=limn→∞an·limn→∞bn,limn→∞anbn=limn→∞anlimn→∞bn ?limn→∞bn≠0.
（三）其他方法
1.拆项法求数列的和，如an=2n+3n.
2.错位相减法求和，如an=(2n-1)2n.
3.分裂项法求和，如an=2n(n+1).
4.反序相加法求和，如an=nCn100.
5.求数列{an}的最大项、最小项的方法：
（1）an+1-an=…＞0
=0
＜0，如an=-2n2+29n-3，
（2）an-1an=…＞1
=1
＜1，(an＞0) 如an=9n(n+1)10n，
（3）an=f(n)，研究函数f(n)的增减性，如an=nn2+156.
6.数学归纳法证明题：“两步、三式、四成立”，格式要规范，由k→k+1要用假设，推理严密.
三、复数
1.复数三角形式的标准：模非负、角相同，“c”前“s”后加号连.
几种常见的非三角形式化三角形式：
-r(cos θ+isin θ),r(cos θ-isin θ),r(-cos θ+isin θ),r(sin θ+icos θ),1±cos θ+isin θ等.
2.运算：代数形式加、减、乘、除、乘方（二项式定理），开平方（待定系数法），三角形式（乘、除、乘方（棣莫定理），开方（方根公式））
ωk=nrcos2kπ+θn+isin2kπ+θn(k=0,1,2，…,n-1)
虚数的整数次幂运算与实数相同：zm·zn=zm+n,zm÷zn=zmzn=zm-n,(zm)n=zmn(虚数没有分数指数幂运算).
3.单位立方虚根： ω1,2=-12±32i,ω31=ω32=1,ω1=ω2，ω1=1ω2,ω1=ω22,ω1ω2=1,ω1+ω2=-1,ω2+ω+1=0等.
4.简便运算：(1±i)2=±2i,1+i1-i=i,1cos θ+isin θ=cos θ-isin θ
z是实数z=z,z是纯虚数z+z=0(z≠0).
5.模的运算及性质：|z|=a2+b2,|z|2=z·z,|z1|·|z2|=|z1·z2|,z1z2=z1z2
|zn|=|z|n,|z1|-|z2|≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|（三角形不等式），
共轭复数的性质：和、差、积、商的共轭等于共轭的和、差、积、商.
6.辐角与辐角主值：θ=argz∈(0,2π),tan θ=ba,(其中z=a+bi)；由辐角求辐角主值：大于2π减2π，小于0加2π.
7.求辐角主值与模的最值，利用图像法、三角法、三角形不等式法.
8.向量对应的复数的计算（终点－起点）PQ=zQ-zP.
9.复平面内两点间的距离：|P1P2|=|z2-z1|.
10.复数集内解方程：一般采用常规方法（求根公式，分解公式代入消元等），特殊方法（方程中含有|z|，z等），设z=x+yi(x,y∈R)用复数相等的主要条件解之.
11.复数集内一元二次方程（实系数）：Δ＞0时，有两不等实根，x1,2=-b±b2-4ac2a；
Δ=0时，有两相等实根，x1,2=-b2a；Δ＜0时，有两共轭虚根x1,2=-b±i4ac-b22a.
12.二项方程：zn=z0（分解图式，或用复数的方根公式）.
四、排列、组合
1.排列数公式： Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m个连续整数=n！(n-m)！（n＞m＞0，且n,n∈N）.
2.组合数公式：Cmn=AmnAmm=n！m！(n-m)！=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m(m-1)…3·2·1.
3.组合数性质：（1）Cmn=Cn-mn；（2）Cmn+1=Cmn+Cm-1n；（3）kCkn=nCk-1n-1 .
4.其他公式：（1）n·n！=(n+1)！-n！；（2）n(n+1)！=1n！-1(n+1)！；
（3）Cmm+Cmm+1+…+Cmn=Cm+1n+1；
（4）Amm+Amm+1+…+Amn=Amm(Cmm+Cmm+1+…+Cmn)=Amm·Cm+1n+1.
5.二项式定理：(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn.
6.二项式通项公式：Tr+1=Crnan-rbr（r=0,1,2,…,n），求指定项（常数项、有理项等），区别“系数”与“二项式系数”.
7.二项式系数的性质：（1）C0n＜C1n＜C2n＜……＞Cn-2n＞Cn-1n＞Cnn（中间一项或两项最大）
（2）C0n+C1n+C2n+…+Cn-2n+Cn-1n+Cnn=2n
（3）C0n+C2n+C4n+…=C1n+C3n+C5n+…=2n-1
8.二项展开式的系数a0,a1,a2,a3,…,an 的性质：f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn
（1）a0+a1+a2+a3+…+an=f(1)
（2）a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan=f(-1)
（3）a0+a2+a4+a6+…=f(1)+f(-1)2
(4)a1+a3+a5+a7+…=f(1)-f(-1)2
(5)a0=f(0)
(6)|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=f(1)+f(-1)2+|f(1)-f(-1)|2
9.应用题：区分排组，准确分类，优先特殊（位置、元素），正确“加、乘”.
重点：排队问题（“在”与“不在”，“邻”与“插”），数字问题（注意“0”、奇数、偶数），组合问题（分类取元），混合问题（先组后排，分类理清，莫漏莫重）.
10.利用二项式定理证明整除性或求余数（（ka+b）n与bn除以a同余).
五、三角
1.由α所在的象限推知α2的位置：
2.同角三角函数的关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α，tan α=sin αcos α，cot α=cos αsin α，cot α=1tan α，csc α=1sin α，sec α=1cos α（涉及开方时，符号由角所在的象限确定：一全、二正、三切、四余弦）.
3. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限.
4.三角函数求最值：①化“一种函数一个角一次式”；②二次式，配方；③万能代换，判别式；④均值不等式应用.
5.三角变换技巧：切割化弦、高次降幂、代换用“1” 、化积约分、化差相抵.
6.三角形问题：A+B+C=π，正弦定理、余弦定理、面积公式，
外接圆半径：R=a2sin A；内切圆半径：r=2SΔa+b+c.
（Rt△中，a2+b2=c2，R=c2，r=a+b-c2）
7.sin(B+C)=sin A,cos(B+C)=-cos A,sinB+C2=cosA2等.
8.△ABC中：c2=a2+b2∠C=90°
9.三角形中，若已知一角的正弦值，应考虑可能有锐角与钝角两种情况.
